Mohr's Circle — 2D 응력 변환 (Plane Stress)

유래 — 독일 토목공학자 Otto Mohr(1835–1918)가 1882년 고안한, 평면응력 변환을 한 점의 원으로 나타내는 도해법입니다. (유사한 원 표현은 Culmann(1866)이 먼저 사용했고, Mohr가 응력 해석에 일반화했습니다.)

원리 — 경사면($\theta$)의 응력 변환식

$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta,\qquad \tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$

에서 $2\theta$ 를 소거하면 $\left(\sigma_{x'}-C\right)^2 + \tau_{x'y'}^2 = R^2$ — 즉 $(\sigma, \tau)$ 평면에서 중심 $(C, 0)$, 반지름 $R$ 인 원의 방정식이 됩니다. 모든 경사면의 응력 상태가 이 원 위의 한 점에 대응합니다.

작도 절차 (Procedure for Constructing Mohr's Circle) — 교과서 절차의 한국어 의역:

1. 가로축을 $\sigma_{x'}$(오른쪽이 +), 세로축을 $\tau_{x'y'}$(아래쪽이 +)로 하는 좌표축을 그린다. → 앱 ①
2. 원의 중심 $c$ 를 $\sigma_{x'}=\sigma_{avg}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$, $\tau_{x'y'}=0$ 인 점에 잡는다.
3. 요소의 x면 응력 상태를 나타내는 점 A를 $\sigma_{x'}=\sigma_x$, $\tau_{x'y'}=\tau_{xy}$ 에 찍는다. 원 위의 점 A는 $\theta=0°$에 해당한다.
4. 요소의 y면 응력 상태를 나타내는 점 B를 $\sigma_{x'}=\sigma_y$, $\tau_{x'y'}=-\tau_{xy}$ 에 찍는다. 원 위의 점 B는 $\theta=90°$에 해당한다. → 앱 ②
5. A에서 B까지 직선을 긋는다 — 중심 $c$ 를 지나는 원의 지름이다. 서로 90° 떨어진 면의 응력을 나타내는 A와 B는 지름의 양 끝, 즉 원에서는 180° 떨어진 곳에 놓인다.
6. $c$ 를 중심으로 A와 B를 지나는 모어원을 그린다 — 이 원의 반지름이 $R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$ 이다. → 앱 ③

활용 — 요소를 $\theta$ 만큼 회전한 면의 응력은 반지름 $\overline{CA}$ 에서 반시계로 $2\theta$ 회전한 점의 좌표로 읽는다. 원과 $\sigma$축의 교점이 주응력, 최하점이 최대전단이다. → 앱 ④~⑥

2배각 — 요소를 $\theta$ 만큼 회전한 면의 응력은 원 위에서 $2\theta$ 만큼 회전한 점입니다. x면(A)과 y면(B)은 실제로는 90° 차이지만 원에서는 180°, 즉 지름의 양 끝이 되는 것이 그 예입니다.

부호 규약 — 이 앱은 Gere·Timoshenko 방식대로 $\tau$축 아래를 + 로 그립니다. 이렇게 하면 요소의 회전방향(반시계 +)과 원에서 $2\theta$ 를 재는 방향이 같은 방향이 되어 작도와 해석이 직관적입니다.

읽는 법 — 원과 $\sigma$축의 교점이 주응력 $\sigma_1,\ \sigma_2$(전단 0인 면), 원의 최하점이 면내 최대전단 $\tau_{max}=R$ 이며 그 면의 수직응력은 평균 $C$ 입니다.

📖 출처: J. M. Gere & B. J. Goodno(구판 Gere & Timoshenko), Mechanics of Materials, 7장 「Analysis of Stress and Strain」 중 § Mohr's Circle for Plane Stress — 위 내용은 해당 절의 절차·개념을 한국어로 재구성한 요약이며, 원문·그림은 번역서 『재료역학』(Cengage) 7장에서 확인하세요.